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用,而算术的规则不再产生预期的结果。用希尔伯特(Hilbert)的话来说:它是一种令人兴奋的进展,一个新的数学“乐园”,而前卫的数学家拒绝被排斥于这个乐园之外。
一个随后被大多数数学家遵循的解决办法,是将数学从它与真实世界的对应中解放出来,并将它转化为任何假定,只要它具有严格的定义,并且不会自相矛盾。自此以后,数学便断绝了对任何事物的信任,除了游戏规则外。罗素对于重新思考数学基本原则一事贡献极大,这或许是有史以来第一次,数学成了舞台的中心。用罗素的话来说:数学是一门没有任何人知道它在说什么的科目,也没有任何人知道它所说的话里面哪些是真的。[6] 它的基本原则,是借着严格排除任何诉诸直觉的事物而重新加以明确表达。
这种情况造成了巨大的心理困难,也造成了若干的知识困难。虽然从数学形式主义者的观点来说,数学和真实世界的关系是互不相干的,但这种关系的存在却是不可否认的。20世纪“最纯净的”数学,曾一再在真实世界中找到某种对应,而且的确有助于解释这个世界或有助于我们借助科技主宰这个世界。哈代(G. H. Hardy)是一位专门研究数论的纯数学家,他曾骄傲地声称他所做的任何事都没有实用价值。可是,即使是哈代,也曾提出一项实用理论,一项现代人口遗传学的基础理论[所谓的哈代——温伯格定律(Hardy-Weinberg law)]。数学游戏和与之对应的真实世界的结构,其关系的性质为何?这个问题对于数学家的数学能力来说或许是不重要的,但是,事实上即使是许多形式论者,如伟大的希尔伯特,似乎也曾相信一个客观的数学真理,那就是:数学家如何看待他们所运算的数学实体的“性质”或他们的定理的“真实性”并非无关紧要。由法国人庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912)发起,荷兰人布劳威尔(L. E. J. Brouwer,1882—1966)领导的“直观论”(intutionism)学派,激烈地排斥形式主义,如果需要,他们甚至不惜放弃许多最杰出的数学推理上的成果,这些简直令人难以置信的成果,曾经引发对数学基础的重新思考,尤其是康托尔在19世纪70年代提出的集合论(set theory),这项理论是在某些人的激烈反对下提出的。这场发生于纯思想尖端领域的战役,其唤起的激情,足以说明借由数学来了解世界的旧日链锁一旦崩溃,将会带来多么深刻的知识和心理危机。